Lineáris és homogén differenciálegyenlet az elsőrendű. Ilyen megoldásokat

Azt hiszem, meg kell kezdeni a történelem, a dicső matematikai eszköz a differenciálegyenletek. Mint minden differenciál-és integrálszámítás, ezek az egyenletek találták a Newton a 17. század végén. Azt hitte, hogy ez a felfedezés annyira fontos, hogy még a kódolt üzenetet, amely ma is le kell fordítani a következő: „Minden a természet törvényei által leírt differenciálegyenletek.” Úgy tűnhet, túlzás, de igaz. Bármilyen törvénye a fizika, kémia, biológia, leírható az egyenletek.

Jelentős mértékben hozzájárul a fejlődés és az új elmélet differenciálegyenletek van matematika Euler és Lagrange. Már a 18. században felfedezték és fejlesztették, ami most tanul a vezető egyetemi kurzusok.

Egy új mérföldkő a vizsgálata differenciálegyenletek kezdett köszönhetően Anri Puankare. Ő hozta létre a „minőségi elmélete differenciálegyenletek”, amely együtt elméleti feladatok komplex változó mértékben hozzájárult az alapja a topológia - a tudomány területet és annak tulajdonságait.

Mik differenciálegyenletek?

Sokan félnek a kifejezés „differenciálegyenlet”. Azonban ebben a cikkben fogjuk részletesen meghatározza a lényege ennek a nagyon hasznos matematikai eszköz, amely valójában nem olyan bonyolult, mint amilyennek látszik a címből. Annak érdekében, hogy elkezd beszélni elsőrendű differenciálegyenlet, akkor először megismerkednek az alapvető fogalmak, amelyek eleve ezzel kapcsolatos meghatározás. És kezdjük a különbség.

differenciális

Sokan tudják, ez a kifejezés a középiskola óta. Azonban még mindig laknak, hogy részletesen. Képzeld el, a függvény grafikonját. Mi lehet növelni, hogy olyan mértékben, hogy annak bármely szegmense lesz egy egyenes vonal. El fog tartani a két pontot, hogy végtelenül közel vannak egymáshoz. A különbség a koordináták (x vagy y) infinitezimális. És ez az úgynevezett differenciális és karaktereket jelölnek dy (eltérés az y) és dx (az eltérés az x). Fontos megérteni, hogy az eltérés nem a végső érték, és ez az értelme és a fő funkciója.

És most meg kell vizsgálni a következő elemeket, amit meg kell magyarázni a differenciálegyenlet fogalma. Ez - származékot.

derivált

Mindannyian ne hallott volna az iskolában, és ez a fogalom. Azt mondják, hogy a származék - a növekedés üteme vagy csökkenése a függvény. Azonban ez a meghatározás válik zavaró. Próbáljuk elmagyarázni a származékos szempontjából a különbségek. Térjünk vissza az infinitezimális intervallum funkció két pontot, amelynek területén található a legkisebb távolság egymástól. De még túl ez a távolság függvényében az ideje változtatni bizonyos értéket. És leírni, hogy a változás, és elér egy származéka, amely egyébként írva, mint az arány a különbségek: f (x) „= df / dx.

Most meg kell vizsgálni az alapvető tulajdonságait a származék. Már csak három:

1. Derivative összeget vagy a különbség képviseli, mint az összege vagy különbsége a származékok: (a + b) '= A' + B 'és (ab)' = a'-b”.
2. A második tulajdonság kapcsolódik szorzás. Származtatott munkák - az összege a munkálatok egy funkció, hogy egy másik származékot: (a * b) '= a' * b + a * b”.
3. A származék a különbség felírható a következő egyenlet: (a / b) '= (a' * BA * b „) / b ^2.

Mindezek a funkciók jól jön, hogy megoldást találjon differenciálegyenletek az elsőrendű.

Emellett vannak olyan parciális származékok. Tegyük fel, hogy van egy funkciója a Z, ami függ az x és y. Kiszámításához parciális deriváltja ezt a funkciót, például a x, meg kell venni a változó y folyamatos és könnyű megkülönböztetni.

integrál

Egy másik fontos fogalom - integrál. Valójában ez az ellentéte-származék. Integrál többféle, de a legegyszerűbb megoldás a differenciálegyenletek, szükségünk van a legtöbb triviális határozatlan integrálok.

Szóval, mi az integrál? Mondjuk van némi kapcsolat f x-nek. Vesszük belőle a szerves és kaphat egy F (x) (gyakran nevezik egy primitív), amely egy származéka az eredeti funkciót. Ezért az F (x) „= f (x). Ez azt is jelenti, hogy az integrál a származék megegyezik az eredeti funkciót.

Megoldásában differenciálegyenletek nagyon fontos, hogy megértsék a jelentését és funkcióját az integrál, mert gyakran kell venni őket, hogy megoldást találjanak.

Az egyenletek függően eltérő a természetük. A következő részben megnézzük típusú elsőrendű differenciálegyenletek, majd megtanulják, hogyan kell megoldani őket.

Osztályok differenciálegyenletek

„Diffury” osztva a rendelést származékok részt bennük. Tehát van egy első, második, harmadik vagy több sorrendben. Ők is több osztályra osztható: közönséges és parciális.

Ebben a cikkben fogjuk vizsgálni a közönséges differenciálegyenletek az elsőrendű. Példák és megoldások megbeszéljük a következő részekben. Mi csak azokat a TAC, mert ez a leggyakoribb típusú egyenletek. Rendes osztva alfaja: elkülöníthető változók, homogén és heterogén. Következő megtudhatja, miben különböznek egymástól, és megtanulják, hogyan kell megoldani őket.

Ezen felül, ezek az egyenletek lehet kombinálni, hogy miután megkapjuk a differenciálegyenlet-rendszert az elsőrendű. Az ilyen rendszerek, mi is nézd meg, és megtanulják, hogyan kell megoldani.

Miért gondolkodunk csak az elsőrendű? Mert meg kell kezdeni egy egyszerű és leírják az összes kapcsolódó differenciálegyenletek, egy cikkben lehetetlen.

Egyenletek elkülöníthető változók

Ez talán a legegyszerűbb elsőrendű differenciálegyenletek. Ezek példák, amelyek a következőképpen írható fel: y „= f (x) * f (y). Ennek megoldására egyenletet szükségünk van a reprezentáció általános képletű a-származék, mint az arány a különbségek: y „= dy / dx. Ezzel megkapjuk a egyenletet: dy / dx = f (x) * f (y). Most viszont, hogy a megoldási módja szabvány példa: külön a változó részek, azaz a gyors előre az összes változó y az a része, ahol dy, és egyúttal azt az x változó ... Kapunk egy egyenlet formájában: dy / f (y) = f (x) dx, ami úgy érhető el, figyelembe integráljainak a két rész. Ne feledkezzünk meg az állandó, amit szeretnénk, hogy miután az integráció.

A megoldás minden „diffura” - függvénye x y (a mi esetünkben), vagy ha van egy numerikus állapot, a válasz egy szám. Nézzük egy konkrét példát az egész folyamán a döntést:

y „= 2y * sin (x)

Transzfer a változók különböző irányokba:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Most, hogy az integrálok. Mindegyikük megtalálható egy speciális asztalon integrálok. És megkapjuk:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Ha szükséges, ki tudjuk fejezni az „y” függvényében „X”. Most már elmondhatjuk, hogy a differenciálegyenlet megoldását, ha nincs megadva állapotban. Lehet megadott feltétel, például, y (n / 2) = e. Aztán egyszerűen helyettesíti az értéke ezeknek a változók a döntést, és megtalálják a konstans értékét. Példánkban ez 1.

Homogén elsőrendű differenciálegyenletek

Most pedig a bonyolultabb részeket. Homogén elsőrendű differenciál egyenletek írhatók általános formában, mint: y „= z (x, y). Meg kell jegyezni, hogy a megfelelő funkciója két változó egyenletes, és ez nem lehet osztani két függően: Z X és z y. Ellenőrizzük, hogy az egyenlet homogén vagy nem, igen egyszerű: teszünk a helyettesítési X = k * x és y = k * y. Most vágják k. Ha ezek a levelek esett, akkor az egyenlet homogén, és nyugodtan folytassa a megoldást. Ami a jövőt illeti, azt mondjuk: az elvet a megoldást ezekre a példák is nagyon egyszerű.

Meg kell, hogy a szubsztitúció: y = T (x) * x, ahol t -, hogy a funkció is függ x. Akkor kifejezni a származék: y '= t' (x) * x + t. Behelyettesítve mindez a mi eredeti egyenlet és egyszerűsítése, mi van a példa a szétválasztása változók t, mint x. Megoldjuk, és így a függését t (x). Amikor odaértünk, egyszerűen helyettesíti a korábbi cserét y = t (x) * x. Ezután megkapjuk a függőség y x.

Annak érdekében, hogy tisztább, mi kell érteni egy példa: x * y „= yx * e y / x.

Amikor ellenőrzi a csere minden csökken. Tehát az egyenlet valóban homogén. Most, hogy más szubsztitúciós, beszéltünk: y = T (x) * x és y '= t' (x) * x + t (x). Miután az egyszerűsítés a következő egyenletet: T „(x) * x = -e t. Mi döntjük el, hogy egy minta elkülönített változók és ^{megkapjuk: e -t = ln (C *} x). Csak ki kell cserélni t y / x (mert ha y = t * x, akkor t = y / x), és megkapjuk a ^{választ: e -y / x = ln (} x * C).

Lineáris differenciálegyenlet az elsőrendű

Itt az ideje, hogy fontolja meg egy másik széles témáról. Meg fogjuk vizsgálni heterogén elsőrendű differenciálegyenletek. Miben különböznek az előző kettő? Nézzünk szembe a tényekkel. Lineáris elsőrendű differenciálegyenletek az általános formája az egyenlet felírható így: y „+ g (x) * y = z (x). Meg kell tenni, hogy a z (x) és g (x) lehet konstans értékek.

Itt egy példa: y „- y * x = x ^2.

Kétféle módon lehet megoldani, és rendelünk Nézzük mindkettőjüket. Az első - a módszer variációs önkényes állandók.

Hogy oldja meg az egyenletet ezen a módon, szükséges, hogy kiegyenlíti az első jobb oldali nulla, és megoldani a kapott egyenlet, amely átadását követő részek válik:

y „= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Most meg kell cserélni a C konstans ₁ függvény v (x), amely azt fogja találni.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Döntetlen a csere-származék:

^{y '= V' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

És ebben az esetben ezeket a kifejezéseket az eredeti egyenletet:

v „* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + X * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Láthatjuk, hogy a bal oldalon a két kifejezés csökkennek. Ha néhány példa arra, hogy nem történt meg, akkor már tettünk valamit rosszul. Továbbra is:

v „* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Most oldja meg a szokásos egyenlet, amelyben meg akarja különböztetni a változó:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = X ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Ahhoz, hogy távolítsa el a szerves, azt kell alkalmaznia az integrálás itt. Azonban nem ez a téma ezt a cikket. Ha érdekel, meg lehet tanulni a saját elvégzésére ilyen intézkedéseket. Ez nem nehéz, és elég szakértelemmel és gondossággal nem időigényes.

Utalva a második módszer az oldatot az inhomogén egyenletek: Bernoulli módszer. Mi megközelítés gyorsabb és könnyebb - ez rajtad múlik.

Tehát, ha megoldja ezt a módszert, azt kell, hogy a helyettesítés: y = k * n. Itt, k és n - bizonyos funkciók függően x. Majd ezt a származékot fog kinézni: y '= k' * n + k * n”. Helyettesítő két cserét az egyenletben:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Csoport up:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Most meg kell nullának, hogy zárójelben van. Most, ha kombináljuk a két kapott egyenleteket, megkapjuk a rendszer elsőrendű differenciálegyenletek kell megoldani:

n „+ x * n = 0;

k „* n = x ^2.

Az első egyenlőség eldönteni, hogy a szokásos egyenlet. Ehhez meg kell külön változók:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Vesszük a szerves és azt kapjuk: ln (n) = x ^2/2. Ezután, ha kifejezzük n:

n = e ^{x2 / 2.}

Most helyettesítheti a kapott egyenlet a második egyenletet:

k „* e ^{x2 / 2} = x ^2.

És átalakítása, megkapjuk ugyanazt az egyenletet, mint az első módszer:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Mi is nem foglalkozunk további lépéseket. Azt mondják, hogy az első elsőrendű differenciálegyenlet oldatot okoz komoly nehézségeket. Ugyanakkor egy mélyebb merítés a téma kezd, hogy jobb és jobb.

Hol vannak differenciálegyenletek?

Nagyon aktív differenciálegyenletek használt fizika, mint szinte az összes alapvető törvények vannak írva differenciális formában, és azok, tápszerek, hogy látjuk - megoldás az egyenletek. A kémiában használják őket ugyanezen okból: az alapvető törvényeket származnak rajtuk keresztül. A biológiában, a differenciálegyenletek modellezésére használjuk a viselkedését rendszerek, mint például a ragadozó - préda. Azt is fel lehet használni, hogy modell a reprodukció, például kolóniák mikroorganizmusok.

Ahogy differenciálegyenletek segít az életben?

A válasz erre a kérdésre egyszerű: semmi. Amennyiben Ön nem a tudós vagy mérnök, akkor nem valószínű, hogy hasznos lesz. Azonban nem árt tudni, hogy mi a differenciálegyenlet, és ez megoldotta a teljes fejlesztés. És akkor a kérdés a fia vagy lánya, „mi egy differenciálegyenlet?” Nem beveszünk egy zsákutca. Nos, ha egy tudós vagy mérnök, akkor tudja, milyen fontos a téma minden tudomány. De a legfontosabb, hogy most arra a kérdésre: „hogyan lehet megoldani a differenciálegyenlet az elsőrendű?” akkor mindig képes választ adni. Elfogadom, ez mindig jó, ha rájössz, hogy mi emberek is félnek, hogy megtudja.

A fő probléma a tanulmány

A fő probléma a megértése a témában egy rossz szokás az integráció és a differenciálás funkciókat. Ha kényelmetlen VÁLLALÁSÁRA származékok és integrál, akkor valószínűleg többet ér, tanulni, tanulni különböző módszerek integráció és a differenciálás, és csak ezután folytassa a tanulmány az anyag, hogy leírták a cikkben.

Vannak, akik meglepődve hallja, hogy dx átvihető, mint korábban (az iskolában) azt állította, hogy a frakció dy / dx oszthatatlan. Ezután el kell olvasni a szakirodalomban a derivatív és megérteni, hogy ez a hozzáállás a végtelenül kicsi mennyiségek, amelyek lehet manipulálni egyenletek megoldására.

Sokan nem veszik észre, hogy azonnal a megoldás, differenciálegyenletek az elsőrendű - ez gyakran egy funkció vagy neberuschiysya elválaszthatatlan, és ez a káprázat ad nekik a sok bajt.

Mi mást lehet tanulmányozni, hogy jobban megértsék?

A legjobb, ha elkezd tovább merítés a világ differenciálszámítás speciális tankönyvek, például a matematikai analízis a diákok nem matematikai specialitások. Akkor majd mozgassa a több szakirodalom.

Azt mondják, hogy amellett, hogy a különbség, még mindig vannak olyan szerves egyenletek, így mindig van valami, hogy törekedni kell, és mit kell tanulni.

következtetés

Reméljük, hogy a cikk elolvasása után lesz egy ötlet, amit a differenciálegyenletek és hogyan lehet megoldani őket helyesen.

Mindenesetre, a matematika bármilyen módon hasznos számunkra az életben. Fejleszti a logika és a figyelmet, amely nélkül minden ember, mint kéz nélkül.