Maclaurin és bomlása bizonyos funkciók

Tanulás fejlett matematikai tisztában kell lenniük azzal, hogy az összeg egy hatványsor az intervallum konvergencia számos minket, egy folyamatos és korlátlan számú alkalommal differenciált funkciót. Felmerül a kérdés: lehetséges, hogy azt állítják, hogy adott egy tetszőleges függvény f (x) - az az összeg, hatványsorba? Ez azt jelenti, hogy milyen feltételek mellett az f-TIONS f (x) leírható hatványsorba? Annak fontosságát, hogy ez a kérdés az, hogy lehet cserélni körülbelül £ Teológiai f (x) az összege az első néhány szempontból hatványsorba, hogy egy polinom. Egy ilyen csere funkció meglehetősen egyszerű kifejezés - polinom - kényelmes és bizonyos problémák megoldásában a matematikai analízis, azaz megoldásában integrálok kiszámítása során differenciálegyenletek , stb ...

Bebizonyosodott, hogy bizonyos F-II f (x), ahol a származékok a (n + 1) -edik érdekében ki lehet számítani, beleértve a legújabb a szomszédságában (α - R; x ₀ + R) egy pont x = α valós képlet a következő:

Ez a képlet névadója a híres tudós Brooke Taylor. Számos amely származik az előző, az úgynevezett Maclaurin sorozat:

A szabály, amely lehetővé teszi, hogy készítsen bővítése egy Maclaurin sorozat:

1. Határozza származékok első, második, harmadik, ... sorrendben.
2. Számítsuk mik-származékok az x = 0.
3. Vedd Maclaurin sorozat erre a funkcióra, majd meghatározni az intervallum a konvergencia.
4. Határozza intervallum (-R, R), ahol a maradék része képletű Maclaurin

R _n (x) -> 0 n -> végtelenig. Ha létezik ilyen, akkor f (x) egyenlőnek kell lennie, hogy az összeget a Maclaurin sorozat.

Tekintsük most az Maclaurin sorozat az egyes funkciók.

1. Így, az első, hogy az f (x) = e ^x. Természetesen, hogy azok jellemzői ezt F-Ia származó különböző megbízások, és az f ^{(k) (x)} = e ^x, ahol k egyenlő az összes természetes számok. Helyettesítő x = 0. Kapunk f ^{(k) (0)} = E ⁰ = 1, k = 1,2, ... A fentiek alapján, egy sor e ^x Ez lesz a következő:

2. Maclaurin sorozat az f (x) = sin x. Azonnal adja, hogy f-lítása során az összes ismeretlen származékok lesz, amellett, f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' „(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), ahol k egyenlő bármely pozitív egész szám. Ez azt jelenti, hogy egyszerű számítások, arra lehet következtetni, hogy a sorozat f (x) = sin x lesz, mint ez:

3. Most nézzük meg iju f-f (x) = cos x. Nem ismert, minden származékok tetszőleges sorrendben, és ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Ismét, ez miután néhány számításokat, azt találjuk, hogy a sorozat f (x) = cos x a következőképpen néz ki:

Tehát, mi szerepel a legfontosabb jellemzője, hogy lehet bővíteni egy Maclaurin sorozat, de kiegészítik a Taylor-sor bizonyos feladatokra. Most felsorolom őket is. Azt is meg kell jegyezni, hogy a Taylor-sor és Maclaurin sorozat fontos része a workshop sorozat döntések magasabb matematika. Tehát, Taylor-sor.

1. Az első egy sor F-II f (x) = ln (1 + x). Mint az előző példákban, ennek mi f (x) = ln (1 + x) lehet hajtani egy szám, és az általános formája Maclaurin sorozat. de ez a funkció Maclaurin lehet beszerezni sokkal könnyebb. Integrálása egy mértani sor, kapunk egy szám f (x) = ln (1 + x) a minta:

2. A második, melyik lesz a végső ebben a cikkben, lesz egy sor f (x) = arctg x. X tartozó intervallum [-1; 1] érvényes bomlás:

Ez minden. Ebben a cikkben már megkérdezett a leggyakrabban használt Taylor-sor és Maclaurin sorozat magasabb matematika, különösen a gazdasági és műszaki főiskolák.