Differenciálszámítás funkciók egy és több változó

Differenciálszámítás egyik ága a matematikai analízis, amely megvizsgálja a származékos, különbségekről és azok használatáról a tanulmány a funkciókat.

A történet

Differenciálszámítás egy önálló tudományág, a második felében a 17. században, köszönhetően a munka Newton és Leibniz, aki megfogalmazott alapvető rendelkezéseket a számítás különbségeket és észrevette a kapcsolatot az integráció és a differenciálás. Mivel fegyelem ő fejlesztette együtt a számítás integrálok, ezáltal alapját képező matematikai analízis. A megjelenése ezen kövek nyitott egy új modern korban a matematikai világ okozott az új tudományágak tudomány. Is kiterjesztette alkalmazásának lehetőségét a matematika, a természettudományok és a technika.

alapfogalmak

Differenciálszámítás épül az alapvető fogalmak a matematika. Ezek a következők: a valós szám, a folyamatosság és korlát funkciót. Egy idő után, az általuk tett modern megjelenésű, köszönhetően a beépített és a differenciálszámítás.

A folyamat létrehozásának

Formation of a differenciálszámítás formájában egy alkalmazást, majd a tudományos módszer előtt történt a megjelenése filozófiai elmélet, amely által létrehozott Nikolay Kuzansky. Munkája tekinthető evolúciós fejlődés az ősi tudomány ítélet. Annak ellenére, hogy a filozófus maga nem volt matematikus, az ő fejlődéséhez járul hozzá a matematikai tudomány tagadhatatlan. Cusa, az egyik az első ki a figyelmet a számtani, mint a legpontosabb tudományos, matematikai üzembe az idő a kérdés.

Az ókori matematikusok egyetemes szempont volt, egy egység, míg a filozófus javasolt új intézkedés végtelenbe visszatér a pontos számot. Ezzel kapcsolatban fordított képviselete pontosságot matematikai tudomány. A tudományos ismeretek, az ő véleménye, oszlik racionális és intelligens. A második pontosabb szerint a tudós, mivel a korábbi ad csak hozzávetőleges eredményt.

gondolat

Az alapötlet és a fogalom a differenciálszámítás társított funkció egy kis környezetében bizonyos pontokat. Ehhez az szükséges, hogy egy matematikai apparátus működését tanulmányok, akinek magatartása egy kis környezetében pont közelében elhelyezni viselkedését lineáris függvény vagy polinom. E definíció alapján a származékos és eltérés.

A megjelenése a koncepció a származék okozta számos problémát a természettudományok és a matematika, ami a meghatározása határértékek az azonos típusú.

Az egyik legfontosabb feladat, hogy a példaként, kezdve a legrégebbi iskolai osztályok, hogy meghatározza a mozgás sebessége egy pont egy egyenes vonal és az építési húzott érintő ezen görbe. Az eltérés kapcsolódik ehhez, mivel lehetséges, hogy közelítse a függvény egy kis környezetében a pont egy lineáris függvény.

Összehasonlítva a koncepció származéka függvényében egy valós változó meghatározását, a különbségek egyszerűen átmegy a funkciója általános jellegű, különösen a kép egy euklideszi térben a másikba.

derivált

Hagyja, hogy a pont irányában mozdul el az y tengely az időt vesszük x, amelyek mérik a kezdete egy pillanatra. Leír egy ilyen mozgás nem jöhet létre a függvény az y = f (x), amely kapcsolatban van a minden egyes időpontban x koordináta eltolható pont. Ez a funkció hívás mechanika, hogy törvény a mozgás. A fő jellemzője a mozgás, különösen egyenetlen a pillanatnyi sebesség. Ha a pont mentén mozgatják az y tengely a törvény szerint a mechanika, a véletlen időpontban szerez koordináta x f (x). A időpontban x + Ah, ahol AH jelentése a növekmény az idő, akkor kordinaty f (x + Ah). Így alakult képletű Δy = f (x + Ah) - f (x), amely az úgynevezett növekményt funkciót. Ez az a pont a pályaszakaszának idő alatt x-x + Ah.

A kapcsolat a előfordulása a sebessége időben származékot adagoljuk. A származék semmilyen funkciót egy fix pont az úgynevezett határérték (feltételezve, hogy létezik). Ez lehet a továbbiakban az egyes karakterek:

f '(x), Y', Y, df / dx, dy / dx, Df (x).

Az eredmény kiszámításához a származék differenciálódásáig.

Differenciálszámítás függvények több változó

Ezt a módszert alkalmazták azokat funkciós vizsgálata során számos változó. Ha két x és y változót, a parciális deriváltja x a ponton A nevezzük a származékot ezt a funkciót x egy rögzített y.

Lehet jelezni az alábbi szimbólumokkal:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x és ∂f (x, y) „/ ∂x.

szükséges ismeretek

Annak érdekében, hogy sikeresen tanulni, és képes legyen megoldani diffury szükséges készségek integráció és differenciálás. Hogy könnyebb megérteni a differenciálegyenletek, meg kell érteni a témában származékot és határozatlan integrál. Szintén nem árt megtanulni, hogy vizsgálja meg a származék az implicit függvény. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a tanulási folyamat gyakran használja integrálok és differenciálódását.

Típusú differenciálegyenletek

Gyakorlatilag az összes kontroll kapcsolatos feladatok az elsőrendű differenciálegyenletek, van 3 típusú egyenletek: homogén, elkülöníthető változók, lineáris inhomogén.

Vannak is több ritka faj egyenletek teljes differenciálművek, Bernoulli-egyenlet, és mások.

Alapok megoldások

Kezdeni, meg kell emlékezni algebrai egyenlet egy iskola természetesen. Ezek tartalmazzák a változók és a számok. Annak érdekében, hogy megoldja a hagyományos egyenletet kell találni bőven számok, amelyek megfelelnek a megadott feltétel. Jellemzően ezek az egyenletek egy gyökér, és az érvényesítés csak helyettesíteni ezt az értéket a helyére ismeretlen.

A differenciálegyenlet ehhez hasonló. Általában, egy egyenletet az elsőrendű tartalmaz:

• Független változó.
• A származék az első függvény.
• Funkció vagy függő változó.

Egyes esetekben előfordulhat, hogy senki nem ismeretlen, X vagy Y, de ez nem olyan fontos, mint az szükséges, hogy az első származékot, nem magasabb rendű származékok az oldathoz, és a differenciálszámításról igaz.

Oldjuk meg a differenciálegyenletet - ez azt jelenti, hogy megtalálják a készlet minden funkcióval rendelkezik, amelyek alkalmasak adott kifejezést. Az ilyen szett funkciók gyakran nevezik az általános megoldás ellenőrzés.

integrálszámítás

Integrálszámítás egyik szakaszok a matematikai analízis, amely megvizsgálja a koncepció integrál, tulajdonságok és módszerek annak számítási.

Gyakran a számítás a szerves akkor jelentkezik, ha kiszámítjuk a terület egy görbe alakú. Ezzel a módszerrel egy határ terület, amely felé egy előre meghatározott területen a beírt sokszög alakú, fokozatos növekedése a kezében, és az adatok oldalán lehet kevesebb, mint a korábban megadott tetszőleges kis érték.

A fő ötlet a számítás a terület minden geometriai alakú terület kiszámításával egy négyszög, akkor bizonyíték van arra, hogy a terület egyenlő a termék hosszának és szélességének. Mikor jön a geometria, akkor az összes szerkezetek készülnek egy vonalzó és iránytű, majd a hossz aránya az szélességének egy racionális értéket. Kiszámításakor a terület a derékszögű háromszög lehet meghatározni, hogy ha tesz egy következő háromszög, egy téglalap alakul ki. A területen a paralelogramma számított egy hasonló, de kicsit bonyolultabb módszerrel, egy téglalap és háromszög. A területen egy sokszög tartják háromszögek szerepelnek benne.

Annak megállapítására, kiszolgáltatva önkényes, ez a módszer nem illik a görbe. Ha feldaraboljuk egyes terek, marad betöltetlen helyekre. Ebben az esetben próbálja meg használni két rétegben, a téglalapok felett és alatt, aminek eredményeként azok közé a függvény grafikonját, és nem tartalmazza. Fontos itt van egy módja annak, hogy megtörje négyszöget. Továbbá, ha vesszük a szünet egyre csökken, a terület a felső és az alsó kell konvergálnak egy bizonyos értéket.

Meg kell visszatérni eljárás szétválasztása téglalapok. Két népszerű módszer.

Riemann hivatalossá meghatározása az integrál által létrehozott Leibniz és Newton, mivel a terület a gráf. Ebben az esetben figyelembe vettük a szám, amely egy bizonyos számú függőleges téglalap hányadosaként kapott intervallum. Ha törés csökkenés van egy határ, hogy a redukált terület egy ilyen alak, ez a határ az úgynevezett Riemann-integrál egy függvény egy meghatározott intervallumban.

A második módszer az, hogy megépíteni a Lebesgue szerves, amely az a tény, hogy azon a helyen az elkülönülés kijelölt terület egy részét az integrandus és összeállítása, majd a szerves értékek összege kapott ezeket a részeket, időközönként elosztva értéktartománya, majd összegezzük a megfelelő intézkedéseket inverz képek ezek integrálok.

modern segédeszközök

Az egyik legfőbb előnye a tanulmány a differenciál- és integrálszámítás Fikhtengol'ts írta - „a differenciál-és integrálszámítás.” Ő tankönyv alapvető eszköze a tanulmány a matematikai analízis, amely kiállta sok kiadást és fordítása más nyelvre. Alkotó diákok és hosszú ideig használják a különböző oktatási intézmények, mint az egyik fő előnye a tanulmány. Ez ad elméleti információkat és gyakorlati ismeretek. Első megjelent 1948-ban.

Algoritmus kutatási funkciója

Felfedezni a módszerek differenciálszámítás funkciót, akkor kell, hogy kövesse eleve adott algoritmus:

1. Keresse meg a domain a funkciót.
2. Keresse meg a gyökereket az adott egyenlet.
3. Számoljuk ki a szélsőségek. Ahhoz, hogy ezt elérjük, kiszámítja a származékos és az a pont, ahol ez egyenlő a nullával.
4. Mi helyettesíti a kapott érték egyenlet.

Fajták differenciálegyenletek

Ellenőrző az elsőrendű (különben differenciálszámításról egyváltozós) és ezek típusok:

• Elkülöníthető változók egyenletet: f (y) dy = g (x) dx.
• A legegyszerűbb egyenlet vagy differenciálszámításról függvényében egy változó, amelynek képlete: y „= f (x).
• A lineáris elsőrendű nonuniform kontroll: y „+ P (x) y = Q (X).
• Bernoulli differenciálegyenlet: y „+ P (x) y = Q (x) y a.
• Egyenletben összesen különbsége: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

A differenciálegyenlet a másodrendű és típusok:

• A homogén lineáris másodrendű differenciálegyenlet állandó ^{együtthatós: y n + Py „+ QY} = 0 p, q tartozik R.
• Inhomogén lineáris másodrendű differenciálegyenlet állandó együtthatós ^{érték: y n + Py „+ QY} = f (x).
• A homogén lineáris ^{differenciálegyenlet: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, és inhomogén másodfokú ^{egyenlet: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Differenciálegyenletek magasabb rendű és típusok:

• A differenciálegyenlet, amely lehetővé teszi csökkentése ^{érdekében: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• A lineáris egyenlet magasabb rendű ^{_{homogén: y (n) + F (}} N- ₁₎ y ^(n-1) + ... + F ₁ y „+ F ₀ y = 0, és ^{_{inhomogén: y (n) + F (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y „+ f ₀ y = f (x).

Szakaszai a probléma megoldásának a differenciálegyenlet

A rendszer segítségével a távirányító megoldani nem csak a matematika vagy fizikai probléma, hanem a különböző problémák biológia, közgazdaságtan, a szociológia és a többiek. Annak ellenére, hogy a legkülönfélébb témákban, követnie kell egy logikai sorrendet megoldani ezeket a problémákat:

1. Összeállítása ellenőrzés. Az egyik legnehezebb szakaszában, amely előírja, hogy a maximális pontosság, mert minden hibát vezet teljesen rossz eredményt. Meg kell figyelembe venni befolyásoló összes tényezőt a folyamat, és meghatározza a kezdeti feltételek. Azt is meg kell tényeken alapul és logikai következtetések.
2. Egyenletek megoldására. Ez a folyamat könnyebb az első pont, mert kizárólag szigorú végrehajtása matematikai számítások.
3. Elemzés és az eredmények értékelése. Származtatott megoldást kell vizsgálni a telepítés gyakorlati és elméleti értéke az eredmény.

Egy példa a használatára differenciálegyenletek az orvostudományban

A távirányító segítségével a gyógyászat területén található építési járványügyi matematikai modell. Nem szabad elfelejteni, hogy ezek az egyenletek is találtak a biológia és a kémia, amelyek közel állnak a gyógyszert, mert ez fontos szerepet játszik a tanulmány különböző biológiai populációk és kémiai folyamatokat az emberi szervezetben.

Ebben a példában a járvány terjedése a fertőzés lehet kezelni egy elszigetelt közösség. A lakosok három csoportba sorolhatók:

• A fertőzött, az x (t), amely abból állt, az egyének, fertőző hordozó, amelyek mindegyike a fertőző (inkubációs periódus rövid).
• A második típus körébe fogékony egyének y (t), lehet fertőzött érintkezés fertőzött.
• A harmadik típus magában foglalja a tűzálló egyének z (t), amelyek immun vagy elvesztett betegség miatt.

Egyedszám folyamatosan, miközben a születés, a természetes halálesetek és a migráció nem tekinthető. A mag lesz két hipotézist.

A százalékos betegség bizonyos időpontban egyenlő az x (t) y (t) (alapuló feltételezést az elmélet, hogy az esetek száma arányosan metszéspontok száma közötti betegek és reagáló tagok, amelyek első közelítésben arányos az x (t) y (t)), a ezért az esetek száma növekszik, és a szám a fogékony csökken olyan sebességgel, amely képlettel számítjuk ki ax (t) y (t) (a> 0).

Száma nem reagálók elpusztult állatok vagy szerzett immunitást, megnövekedett sebességgel, amely arányos az esetek száma, bx (t) (b> 0).

Ennek eredményeként, akkor egy olyan rendszer felállítása az egyenletek mind a három mutató alapján a következtetéseit.

Példa használat Economics

Differenciálszámítás gyakran használják a gazdasági elemzést. A fő feladat a gazdasági elemzésben kell tekinteni a tanulmány az értékek a gazdaság, amely rögzíti a formáját a funkciót. Ezt alkalmazzák a problémák megoldásában, mint például a jövedelmi adó után azonnal nő, nevezési díj, változások a bevételek, ha változik a termék értékét, milyen arányban lehet helyettesíteni nyugdíjazottnak új berendezések. Az ilyen problémák megoldására, arra van szükség, hogy állítson össze egy kommunikációs funkció a bejövő változók, melyek miután tanulmányozta differenciálszámítás.

gyakran szükség van, hogy megtalálja a legoptimálisabb teljesítményt a gazdasági szférában: a maximális termelékenységet, a legmagasabb jövedelmű, a legkisebb költség, és így tovább. Mindegyik ilyen komponens függvénye egy vagy több paramétert. Például a termelés tekinthető függvényében munkaerő és a tőke. Ebben az összefüggésben, találni egy megfelelő érték lehet csökkenteni megtalálni a maximális vagy minimális függvényében egy vagy több változó.

Az ilyen nehézségek osztálya extremális problémák a gazdaság területén, amelyre szüksége van, differenciálszámítás. Amikor a gazdasági indikátor van szükség, hogy minimalizálják vagy maximalizálja a más paraméterek függvényében, a növekmény aránya maximális pont funkció az érvek általában nulla, ha a növekmény az érvelés nullához. Ellenkező esetben, ha egy ilyen hozzáállás hajlamos egy bizonyos pozitív vagy negatív érték, a megadott pont nem alkalmas, mert a növelésével vagy csökkentésével az érv lehet változtatni függő értéket a kívánt irányba. A differenciálszámításról terminológiát, ez azt jelentené, hogy a szükséges feltételek a maximális függvény nulla értéke annak származéka.

A gazdaság nem ritka probléma megtalálni a szélsőérték egy függvény több változó, mert a gazdasági mutatók alkotják számos tényező. Ezek a kérdések jól ismertek az elmélet a funkciók több változó, a számítási módszerét eltérés. Ilyen probléma például a nem csak a maximális és minimális funkció, hanem korlátait. Ezek a kérdések a matematikai programozás, és megoldani a segítségével kifejlesztett módszereket is alapul a tudományág.

Eljárások közül a differenciálszámítás használt a gazdaságban, egy fontos rész a végső teszt. A gazdasági szférában, a kifejezés egy sor kutatási módszereket változó teljesítmény és az eredmények, ha megváltoztatja a hangerőt a teremtés, a fogyasztás, elemzése alapján az határértékek. Korlátozása jelzést tekinthető-származék vagy a részleges származékok többváltozós.

Differenciálszámítás számos változó - fontos téma a matematikai analízis. A részletes vizsgálat, akkor a különböző oktatási segédanyagok a felsőoktatási intézmények. Az egyik legismertebb létre Fikhtengol'ts - „A differenciál- és integrálszámítás.” Mennyi a nevet a megoldás, differenciálegyenletek nagy jelentőséggel bír, hogy a készségek dolgozni integrálok. Ha van egy differenciálszámítás függvények egy változó, a döntés könnyebb lesz. Bár meg kell jegyezni, ebből következik, ugyanazt az alapvető szabályokat. A gyakorlatban, hogy vizsgálja meg a funkció a differenciálszámítás, kövesse a már meglévő algoritmus, amelyet adott a középiskolában, és csak egy kicsit bonyolultabb az új változók.