A rendszer lineáris algebrai egyenletek. Homogén rendszer lineáris algebrai egyenletek

Az iskolában, mindannyian tanult az egyenletet, és, természetesen, az egyenletrendszert. De nem sokan tudják, hogy számos módon megoldani őket. Ma pontosan láthatja az összes megoldási módjait, egy lineáris algebrai egyenletek, amelyek tagjai több mint két egyenlet.

történet

Ma már tudjuk, hogy a művészet a megoldása egyenletek és rendszerek származik az ősi Babilon és Egyiptom. Azonban, az egyenlőség a megszokott formában jelent meg nekünk bekövetkezése után az egyenlőségjel „=”, amelyet azért vezettek be 1556-ban az angol matematikus rekordot. Mellesleg, ez a szimbólum választották egy okból: ez azt jelenti, két párhuzamos egyenlő szegmensek. Sőt, a legjobb példa az egyenlőség nem jön.

Az alapító modern feliratok és jelképek ismeretlen mértékű francia matematikus Fransua Viet. Azonban a kijelölés jelentősen eltér a mai. Például egy négyzet egy ismeretlen számot, amit betű jelöli a Q (lat „quadratus”.) És a kocka - a C betű (lat „cubus”.). Ezek a szimbólumok most úgy tűnik, kényelmetlen, de aztán ez volt a leginkább intuitív módon írni egy lineáris algebrai egyenletek.

Hátránya azonban a mindenkori módszerek megoldása az volt, hogy a matematikusok tekinthető csak a pozitív gyökerei. Talán ez annak a ténynek köszönhető, hogy a negatív értékek nincs gyakorlati alkalmazása. Így vagy úgy, de az első figyelembe kell venni a negatív gyökerek után kezdődött az olasz matematika Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano és Raphael Bombelli a 16. században. A modern megjelenésű, a fő megoldási módja másodfokú egyenlet (a diszkrimináns) jött létre csak a 17. században munkái révén Descartes és Newton.

A közepén a 18. század svájci matematikus Gabriel Cramer talált egy új módja annak, hogy a megoldás a rendszerek lineáris egyenletek egyszerűbb. Ezt a módszert később róla elnevezett, és a mai napig használjuk. De az eljárás Kramer beszélni egy kicsit később, de most fogjuk megvitatni lineáris egyenletek és megoldásuk elkülönítve a rendszer.

lineáris egyenletek

Lineáris egyenletek - a legegyszerűbb egyenlet változó (k). Ők tartoznak az algebrai. Lineáris egyenletek írva az általános formában a következők szerint: egy ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... és _n * x _n = b. Benyújtása ebben a formában lesz szükségünk az elkészítéséhez rendszerek és mátrixok.

Egy lineáris algebrai egyenletek

Az E kifejezés meghatározása a következő: egy sor egyenletek, amelyeknek közös ismeretlenek és az általános megoldást. Jellemzően, az iskolában minden megoldható a rendszer két vagy akár három egyenletet. De vannak olyan rendszerek, négy vagy több komponenst. Lássuk először, hogy hogyan írja le úgy, hogy később volt kényelmes megoldani. Először is, a rendszer lineáris algebrai egyenletek jobban néz ki, ha az összes változó vannak írva, mint x és a megfelelő index: 1,2,3 és így tovább. Másodszor, meg kell vezetni az összes egyenletet, hogy a kanonikus formában: egy ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... és _n * x _n = b.

Miután ezeket a lépéseket, akkor elmondani, hogyan kell megtalálni a megoldást a rendszerek lineáris egyenletek. Nagyon sok, hogy jól jön mátrixban.

mátrix

Mátrix - egy asztal áll, hogy a sorok és oszlopok, és annak elemei vannak a kereszteződést. Ez lehet akár egy meghatározott értéket vagy változó. A legtöbb esetben, hogy kijelölje elemek vannak elrendezve alatt indexek (például egy ₁₁ vagy ₂₃ lyuk). Az első index jelzi a sor számát, és a második - az oszlop. Fent mátrixok a fenti és más matematikai elem lehet műveleteket végezni. Így, akkor:

1) Kivonás, és adjunk hozzá az azonos méretű a táblázat.

2) Szorozzuk meg a mátrixot, hogy tetszőleges számú vagy vektort.

3) átültetése: transzformációs mátrix vonalak az oszlopok, és az oszlopok - a sorban.

4) Szorozzuk meg a mátrix, ha a sorok száma egyenlő az egyikük különböző számú oszlopok.

Ahhoz, hogy részletesen megvitassák az összes ezeket a technikákat, mivel ezek hasznosak számunkra a jövőben. Kivonás és mátrixok összeadása nagyon egyszerű. Mivel vesszük az azonos méretű mátrix minden eleme egy táblázat kapcsolatban van az összes többi elemhez. Így add (kivonás) két ilyen elemet (fontos, hogy álltak ugyanazon a földön a saját mátrixok). Amikor számával szorozva a mátrix vagy vektor egyszerűen szorozza minden eleme a mátrix azt a számot (vagy vektor). Átültetés - egy nagyon érdekes folyamat. Nagyon érdekes néha látni a valós életben, például, amikor tájolásának megváltoztatása tabletta vagy telefonon. Az ikonok az asztalon egy mátrix, és a változás a pozíció, akkor ültették, és egyre szélesebb, de csökken a magasság.

Nézzük inkább egy folyamat, mint a mátrix szorzás. Bár azt mondta nekünk, és nem hasznos, de ne feledjük, még mindig hasznos. Szorzás két mátrix lehet csak azzal a feltétellel, hogy az oszlopok számát egy táblázatban egyenlő a sorok számát más. Most, hogy az egyik mátrix vonalú elemeket és egyéb elemek a megfelelő oszlop. Szorozzuk őket egymással, majd összege (azaz, például, a termék a ₁₁ és ₁₂ elemek és a ₁₂ b és ₂₂ b lesz egyenlő: a * b _{11 12} + ₁₂ * b és _22). Így egyetlen tábla elemet, hasonló eljárás van kitöltve tovább.

Most lehet kezdeni, hogy hogyan lehet megoldani rendszerek lineáris egyenletek.

gauss

Ez a téma kezdett kerül sor az iskolában. Tudjuk nagyon jól, a „rendszer két lineáris egyenletek”, és tudja, hogyan kell megoldani őket. De mi van, ha a számú egyenlet nagyobb, mint kettő? Ez segít nekünk Gauss módszer.

Természetesen ez a módszer kényelmes a használata, ha egy mátrix rendszer. De nem lehet átalakítani, és dönt a saját.

Szóval, hogyan lehet megoldani, hogy egy lineáris egyenletrendszer Gauss? By the way, bár ez a módszer és a róla elnevezett, de felfedezték az ősi időkben. Gauss egy műveletet elvégezni egyenletek, hogy végül eredményez az összessége a lépcső formában. Ez azt jelenti, meg kell, hogy felülről lefelé (ha helyesen hely), az elsőtől az utolsó egyenlet megcsappant egy ismeretlen. Más szóval, meg kell győződnünk arról, hogy megvan, mondjuk, három egyenletet: az első - három ismeretlen, a második - két, a harmadik - egy. Aztán az utolsó egyenlet, azt látjuk, az első ismert, helyettesítse az értékét a második vagy az első egyenlet, továbbá megtalálni a fennmaradó két változó között.

Cramer-szabály

A fejlesztés ez a technika elengedhetetlen, hogy elsajátítsák a készségeket összeadás, kivonás mátrixok, valamint annak szükségességét, hogy képes legyen megtalálni meghatározó. Ezért, ha kényelmetlen ezt mind, vagy nem tudom, hogyan, meg kell tanulni és képezni.

Mi a lényege ennek a módszernek, és hogyan kell csinálni, így, hogy egy lineáris egyenletrendszer Cramer? Ez nagyon egyszerű. Ki kell építeni a mátrix számok (majdnem mindig) együtthatóinak egy lineáris algebrai egyenletek. Ehhez egyszerűen csak a számot az ismeretlen, és intézkedik a táblázat abban a sorrendben vannak rögzítve a rendszerben. Ha a szám előtt egy „-” jel, akkor írunk negatív tényező. Tehát, mi történt az első mátrix együtthatók az ismeretlenek, nem beleértve a több egyenlőségjel után (persze, hogy az egyenletnek, hogy csökkenteni kell a kanonikus formája, amikor a jog csak egy szám, és a bal - az összes ismeretlen együtthatók). Akkor meg kell, hogy néhány mátrixok - egy-egy változót. Erre a célra, az első mátrix helyettesítik egyetlen oszlop minden egyes oszlopban a számok az együtthatóknak egyenlőségjel után. Így kapunk egy pár matricát, majd megtalálja a meghatározó.

Miután megtaláltuk a selejtező, hogy kicsi. Van egy kezdeti mátrixot, és több származtatott mátrixok, amelyek megfelelnek a különböző változók. Ahhoz, hogy a rendszer megoldás, elosztjuk a meghatározója a kapott táblázatot az elsődleges meghatározója az asztalra. Az eredményül kapott szám értéke egy változó. Hasonlóképpen, azt látjuk, az összes ismeretlen.

más módszerek

Számos módszer annak érdekében, hogy az oldat a rendszerek lineáris egyenletek. Például, egy úgynevezett Gauss-Jordan módszert, mellyel a megoldásokat találjanak a rendszer másodfokú egyenlet, és tárgya továbbá alkalmas mátrixok. Van is egy Jacobi módszer megoldására egy lineáris algebrai egyenletek. Ő könnyen alkalmazkodik az összes számítógép és használják a számítástechnikában.

bonyolultabb esetekben

A komplexitás általában akkor fordul elő, ha a szám egyenletek kevesebb, mint a változók száma. Akkor biztosan azt mondják, hogy van, vagy a rendszer nem felel meg (azaz nincs gyökereit is), vagy a számát döntéseit tart végtelenbe. Ha megvan a második esetben - meg kell írni az általános megoldás a lineáris egyenletrendszer. Ez magában foglalja legalább egy változót.

következtetés

Itt érkezünk el a végén. Összefoglalva: meg kell értenünk, hogy mi a rendszer mátrix, megtanulta, hogy megtalálják az általános megoldás egy lineáris egyenletek. Ezen kívül figyelembe vettük más lehetőség. Arra gondoltunk, hogy hogyan lehet megoldani rendszerek lineáris egyenletek: minánsok és Cramer-szabály. Beszéltünk nehéz eseteket és más módon megoldást találni.

Tény, hogy ez a kérdés sokkal kiterjedtebb, és ha azt akarjuk, hogy jobban megértsék, ezért javasoljuk, hogy tovább a szakirodalom.