Differentials - mi ez? Hogyan lehet megtalálni a differenciál a funkciót?

Együtt-származékok feladataik különbségek - a néhány alapvető fogalmak a differenciálszámítás, a fő részben a matematikai analízis. Ahogy elválaszthatatlanok, mindkettő több évszázados széles körben használják megoldásában szinte minden problémát, amely során keletkezett tudományos és műszaki tevékenység.

A megjelenése fogalmának eltérés

Ez az első alkalom világossá tette, hogy egy ilyen eltérés, az egyik alapító (együtt Isaakom Nyutonom) differenciálszámításról híres német matematikus Gotfrid Vilgelm Leybnits. Előtte matematikusok 17. században. használt nagyon világos, és homályos elképzelés néhány végtelenül „osztatlan” bármilyen ismert funkció, ami egy nagyon kicsi, de állandó értéket nem egyenlő nullával, amely alatt értékeli a funkciót nem lehet egyszerűen. Ezért csak egy lépés volt, hogy a bevezetése fogalmát infinitezimális lépésekben függvényargumentumok és azok lépésekben a funkciók, hogy lehet kifejezni származékok az utóbbi. És ez a lépés volt, szinte egyszerre a fenti két nagy tudós.

Alapján annak szükségességét, hogy a sürgős gyakorlati mechanika a problémákat, hogy szembenézzen a tudomány gyorsan fejlődő ipar és a technológia, Newton és Leibniz létre a leggyakoribb módja a megállapítás a funkciók a változás sebessége (különös tekintettel a mechanikai sebessége a test az ismert pályája), ami a bevezetése az olyan fogalmak, mint differenciálhányados és az eltérés, és azt is megállapította az algoritmus inverz probléma megoldásokat, mint önmagában ismert (változó) fordulatszámok mozgatandó hogy megtalálja az utat, hogy vezetett a koncepció integrál Ala.

A művek Leibniz és Newton ötlete először úgy tűnt, hogy a különbségek - arányos növekménye alapgondolataira Ah megnöveli Au funkciók sikeresen lehet alkalmazni értékének kiszámításához az utóbbi. Más szóval, ezek felfedezték, hogy egy növekménye függvény lehet bármely pontján (belül doménje felbontású) fejezzük keresztül származéka mind Au = y „(x) Ah + αΔh ahol α Ah - fennmaradó, nullához, mint Ah → 0, sokkal gyorsabban, mint a tényleges Ah.

Az alapítók a matematikai analízis, a különbségek - ez pontosan az első ciklus lépésekben bármilyen funkciót. Még anélkül egy világosan meghatározott határérték fogalmát szekvenciákat értjük ösztönösen, hogy a különbségi értéket a származék hajlamos működni, amikor Ah → 0 - Au / Ah → y „(x).

Ellentétben Newton, aki elsősorban fizikus és matematikai apparátus minősül kiegészítő eszköz a tanulmány a fizikai problémák, Leibniz több figyelmet szentelt ennek a toolkit, beleértve a rendszer vizuális és érthető szimbólumok matematikai értékeket. Ez volt az, aki javasolta a szabványos jelölés a differenciálművek funkció dy = y „(x) dx, dx, és a származék az érvelés a funkciója, mint a kapcsolatuk y” (x) = dy / dx.

A modern meghatározás

Mi az eltérés szempontjából a modern matematika? Ez szorosan kapcsolódik a fogalom egy változó értékét növelni. Ha a változó y vesz egy első értéke a y y = _1, akkor y = y _2, a különbség y ₂ ─ y ₁ nevezik növekmény értékét y. A növekmény pozitív lehet. negatív és zérus. A „növekmény” van megjelölve Δ, Au felvétel (read „delta y”) jelöli az értéket a növekmény y. így Au = y ₂ ─ y _1.

Ha az érték Au tetszőleges függvény az y = f (x) az alábbi képlettel jellemezhető Au = A Ah + α, ahol A nincs függés Ah, t. E. A = const az adott x, és a kifejezés α, amikor Ah → 0 hajlamos ez még gyorsabb, mint a tényleges Ah, akkor az első ( „master”) kifejezés arányos Ah, és az y = f (x) differenciális, jelöljük dy vagy df (x) (olvasni "y de", "de eff az X"). Ezért különbözetekhez - a „fő” lineáris képest összetevőinek lépésekben Ah funkciókat.

mechanikai magyarázata

Legyen s = f (t) - a távolság egy egyenes vonal mentén mozgó anyagi pont a kezdeti helyzetből (t - utazási idő). Lépésköz Δs - az az út pont egy időköz alatt, At, és a differenciál DS = f „(t) At - ezt az utat, amely ponton tartanak az időben At, ha megtartotta a sebesség F” (t), elérte a t időpontban . Amikor egy infinitezimális At DS képzeletbeli útvonal különbözik a tényleges Δs végtelenül amelynek magasabb rendű tekintetében At. Ha a sebesség a t időpontban nem egyenlő nullával, a közelítő érték DS ad kis torzítást pont.

geometriai értelmezése

Hagyja, hogy a vonal L a grafikon y = f (x). Ezután Δ X = MQ, Au = QM „(lásd. Az alábbi ábrát). Érintő MN tör Au két részre vágtuk, QN és NM”. Az első és Ah arányos QN = MQ ∙ tg (szög QMN) = AH f „(x), t. E QN jelentése dy eltérés.

A második rész a különbség Au NM'daet ─ dy, amikor Ah → 0 NM hossz „csökken, még gyorsabb, mint a növekmény az érvelés, vagyis azt a rendelést kicsinysége magasabb Ah. Ebben az esetben, ha f „(x) ≠ 0 (nem párhuzamos tangens OX) szegmensek QM'i QN egyenértékű; más szóval NM „gyorsan csökken (sorrendben kicsinysége a nagyobb), mint a teljes növekmény Au = QM”. Ez nyilvánvaló ábrán (közeledik szegmens M'k M NM'sostavlyaet minden kisebb százalékos QM „szegmens).

Tehát, grafikusan differenciális tetszőleges függvény egyenlő a növekmény az ordináta az érintő.

A származékot és a differenciál

Egy tényező az első ciklus a expresszió növekmény funkció egyenlő értékét a származékos f „(x). Így a következő összefüggés - dy = f '(x) Ah vagy df (x) = f' (x) Ah.

Ismeretes, hogy a növekmény a független érv megegyezik annak eltérés AH = DX. Ennek megfelelően, tudjuk írni: f „(x) dx = dy.

Megtalálása (néha azt mondják, hogy a „döntés”) differenciálművek végzi ugyanazokat a szabályokat a származékos. Ezek listáját az alábbiakban közöljük.

Mi több univerzális: a növekmény az érvelés vagy eltérés

Itt kell, hogy néhány pontosítást. Képviselet érték f „(x) differenciális Ah lehetséges, ha figyelembe vesszük x érvként. De a funkció lehet egy komplex, amelyben X jelentése lehet függvénye az érvelés t. Ezután a képviselet a differenciális expressziója f „(x) Ah, mint a szabály, lehetetlen; kivéve abban az esetben, lineáris függés x = a + b.

Ami az f „(x) dx = dy, majd abban az esetben független x argumentumot (majd dx = AH) abban az esetben, a parametrikus függését x t, ez eltérés.

Például, a kifejezés 2 x Ah jelentése az y = x ² az eltérés, ha x értéke egy érv. Most x = t ^2, és feltételezik, t érv. Akkor Y = X ² = t ^4.

Ezt követi a (t + At) ² = t ² + 2tΔt + ^At2. Ezért AH = 2tΔt + ^At2. Ezért: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + ^At2).

Ez a kifejezés nem arányos a At, és ezért most 2xΔh nem differenciál. Megtalálható a y = x ² = t ^4. Ez egyenlő dy = 4t ³ At.

Ha vesszük a kifejezést 2xdx, ez a differenciál y = x ² bármely érv t. Valóban, ha x = t ² kapjunk dx = 2tΔt.

Tehát 2xdx = 2T ² 2tΔt = 4t ³ At, t. E. Az expressziós különbségek által rögzített két különböző változót egybeesik.

Cseréje lépésekben differenciálművek

Ha f „(x) ≠ 0, akkor Au és Dy ekvivalens (ha Ah → 0); ha f „(x) = 0 (értelmét és dy = 0), ezek nem egyenértékűek.

Például, ha y = x ^2, majd Au = (x + Ah) ² ─ X ² = 2xΔh + Ah ² és a dy = 2xΔh. Ha x = 3, akkor van Au = 6Δh + Ah ² és a dy = 6Δh egyenértékű miatt Ah ² → 0, ha x = 0 értéke Au = AH ² és a dy = 0 nem egyenértékűek.

Ez a tény, valamint az egyszerű szerkezet a differenciál (m. E. Linearitás tekintetében Ah), gyakran használják közelítő számítást, feltételezve, hogy Au ≈ dy a kis Ah. Találja meg az eltérés funkciója általában könnyebb, mint kiszámítani a pontos értékét a növekményt.

Például, van fém kocka Edge X = 10.00 cm. A fűtés a szélén megnyúltak AH = 0,001 cm. Hogyan megnövekedett kockát V? Van V = x ^2, úgy, hogy dV = 3x ² = AH 3 ∙ ∙ február ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Fokozott aAV egyenértékű eltérés dV, úgy, hogy aAV = 3 cm ^3. Teljes számítás adna aAV = 10,01 ─ ³ 10 ³ = 3,003001. De az eredmény az összes számjegy az első kivételével megbízhatatlan; ezért továbbra is szükség van, hogy felhajt 3 ^cm3.

Nyilvánvaló, hogy ez a megközelítés csak akkor hasznos, ha lehet becsülni az értékét felruházott hiba.

Differenciál funkció: példák

Próbáljuk megtalálni az eltérés a funkció y = x ^3, megtalálni a származék. Adjunk az érvelés növekmény Au és meghatározzák.

Au = (AH + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + H (Ah 3xΔh ² + ^3).

Itt az együttható A = 3x ² nem függ Ah, úgy, hogy az első ciklus arányos Ah, a másik tag 3xΔh Ah ² + ³ amikor Ah → 0 gyorsabban csökken, mint a növekmény az érvelés. Következésképpen, egy tagja 3x ² Ah a differenciális y = x ^3:

dy = 3x ² AH = 3x ² dx vagy d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Ahol D (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Most megtalálják a függvény az y = 1 / x a-származék. Ezután d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Ezért dy = ─ Ah / x ^2.

Különbségek alapvető algebrai függvények az alábbiakban közöljük.

Hozzávetőleges számítások használatával eltérés

Ahhoz, hogy értékelje az f (x), mind annak származéka, f „(x) x = a gyakran nehéz, hanem az, hogy ugyanazt a közelében, x = a nem könnyű. Aztán jön a támogatás a közelítő kifejezést

f (a + Ah) ≈ f „(a) Ah + F (a).

Ez ad egy hozzávetőleges értéke a függvény kis lépésekben keresztül eltérés Ah f „(a) Ah.

Ezért, ez a képlet ad egy hozzávetőleges függvénykifejezést végpontjánál egy részének hossza Ah összegeként értéke a kiindulási pont a rész (X = A), és a differenciál ugyanazon kiindulási pont. A módszer pontossága meghatározására függvény értékei szemlélteti a rajzot.

Azonban ismert, és a pontos kifejezés a függvény értéke x = a + Ah képlet szerinti véges lépésekben (vagy, alternatív módon, Lagrange-féle formula)

f (a + Ah) ≈ f „(ξ) Ah + F (a),

ahol a pont x = a + ξ van az intervallum x = a, hogy x = a + Ah, bár a pontos helyzete ismert. A pontos képlet lehetővé teszi, hogy értékelje a hiba a közelítő általános képletű. Ha teszünk a Lagrange képlet ξ = AH / 2, bár ez már nem pontosak, de ad, mint általában, sokkal jobb megközelítés, mint az eredeti kifejezés szempontjából a különbség.

Értékelési képletek hibát alkalmazásával eltérés

Mérőműszerek , elvileg, pontatlan, és hogy a mérési adatok megfelelő a hibát. Jellemzőjük korlátozásával az abszolút hiba, vagy, a rövid, a korlát hiba - pozitív, egyértelműen meghaladó a hiba abszolút értéke (vagy legfeljebb egyenlő, IT). Korlátozása a relatív hiba az úgynevezett hányados kapott elosztjuk azt a abszolút értéke a mért érték.

Legyen pontos képlet y = f (x) függvény használható vychislyaeniya y, de az x értéke a mérési eredmény, ezért hozza a y hibát. Aztán, hogy megtalálják a korlátozó abszolút hiba │Δu│funktsii y, a következő képlet segítségével

│Δu│≈│dy│ = │ f „(x) ││Δh│,

ahol │Δh│yavlyaetsya marginális hiba érv. │Δu│ mennyiséget kell kerekíteni felfelé, ahogy pontatlan számítás maga a csere a növekmény a differenciál számítást.