Euklideszi tér: fogalom, tulajdonságok, jelek

Az iskolában az összes diák megismerkedik az "euklideszi geometria" koncepciójával, amelynek főbb rendelkezései az axiómák köré összpontosulnak, amelyek olyan geometriai elemeken alapulnak, mint a pont, a sík, a vonal, a mozgás. Ezek mindegyike összevont formában, ami régóta ismert az "euklideszi tér" kifejezéssel.

Az euklideszi tér, amelynek meghatározása a vektorok skalárszorzásával történik, egy olyan lineáris (affin) tér speciális esete, amely megfelel számos követelménynek. Először is, a vektorok skaláris terméke abszolút szimmetrikus, azaz a koordináták (x; y) vektora kvantitatívan azonos a koordinátákkal (y; x) rendelkező vektorral, azonban irányával ellentétes.

Másodszor, ha a vektor skaláris terméke önmagával készül, az eredmény pozitív lesz. Az egyetlen kivétel abban az esetben fordul elő, ha a vektor kezdeti és végső koordináta nulla, ebben az esetben a termék önmagával nulla lesz.

Harmadszor, a skaláris termék eloszlása van, vagyis annak lehetősége, hogy egyik koordinátáját egy két érték összegével lebontsuk, ami nem okoz változást a vektorok skalárszorzásának végeredményében. Végül, negyedszer, amikor a vektorok ugyanazt a tényleges számot megszorozzák , skaláris terméke ugyanolyan mértékben növekszik.

Abban az esetben, ha mind a négy feltétel teljesül, bizalommal mondhatjuk, hogy euklideszi térünk van előttünk.

Az euklideszi tér gyakorlati szempontból az alábbi konkrét példákkal jellemezhető:

1. A legegyszerűbb eset a vektorok halmaza jelenléte a geometria alapszabálya által meghatározott skaláris termékkel.
2. Az euklideszi tér akkor is létrejön, ha vektoroknál egy bizonyos véges valós számok halmazát értjük egy adott képlet segítségével, amely leírja a skalár összegüket vagy terméküket.
3. Az euklideszi tér speciális esete az úgynevezett nulla tér, amelyet akkor kapunk, ha mindkét vektor skaláris hossza nulla.

Az euklideszi térnek számos sajátossága van. Először is, a skaláros szorzót a skalár termék első és második koefficienséből zárójelből lehet kivonni, ennek eredménye nem változik meg. Másodszor, a skalár termék első elemének eloszlásával együtt a második elem eloszlása is működik. Ezenkívül a vektorok skaláris összegén kívül a distributivitás a vektorok kivonása esetén is bekövetkezik. Végezetül, harmadszor, a vektor skála szorzásával nullával, az eredmény nulla is lesz.

Így az euklideszi tér a legfontosabb geometriai koncepció, amelyet a vektorok relatív pozícióinak egymáshoz viszonyított problémáinak megoldásában használnak, amelyek jellemzésére egy fogalmat használnak, mint egy skaláris termék.